Αναζήτηση αναρτήσεων

Επιστροφή από τις ερημιές της χώρας του σκυρόδεματος στα λιβάδια της χώρας του τώρα

>> 30/9/10

Ένα έχω να πω.


IN THIS WE TRUST. ΜΕΤΑΝΟΕΙΤΕ, ΑΠΙΣΤΑ ΣΚΟΥΛΗΚΙΑ!

Όταν σπαταλάς ένα ολόκληρο εξάμηνο παρακολουθώντας παραδόσεις επί παραδόσεων, extra ώρες, ασκήσεις, εργαστήρια και δεν συμμαζεύεται ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΑΞΙΩΝΕΤΑΙ ΚΑΝΕΙΣ ΝΑ ΚΑΝΕΙ ΕΝΑ ΣΤΟΧΕΥΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΓΚΥΡΩΣΕΙΣ, πέρα από κάποιες επιδερμικές αναφορές, ε τότε, πρέπει να στρώσεις τον κώλο σου κάτω και να βγάλεις άκρη μόνος σου. Αλλά όταν διαβάζεις και δουλεύεις ασταμάτητα επί σχεδόν δύο μήνες, όταν έχεις να ολοκληρώσεις, να παραδώσεις και να εξεταστείς στις 11 το πρωί σε μια τιτάνια εργασία 180 σελίδων (ούτε διπλωματική να ήταν) και εφάμιλλων σχεδίων εφαρμογής και λεπτομερειών και είναι ήδη 6:30 τα ξημερώματα, όταν έχεις ήδη δώσει κι έχεις σκοπό να δώσεις και άλλες τέτοιες εργασίες και όταν για όλους αυτούς τους λόγους έχεις τα άπειρα νεύρα και θες να τα γαμήσεις όλα, το να στρωθείς και να προσπαθήσεις να καταλάβεις κάτι που κανείς δεν ενδιαφέρθηκε, όχι να στο εξηγήσει ενδελεχώς, αλλά ούτε καν να  στο αναφέρει, αλλά είναι κατά τα άλλα σημαντικότατο, είναι πολύ, μα πάρα πολύ δύσκολο να τα καταφέρεις.
Και τότε βρήκα μέσω Google το εν λόγω σύγγραμμα. Και είδα το φως το αληθινό. Το βιβλίο είναι ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΟ. Μήκη αγκύρωσης, λεπτομέρειες μάτισης, επικαλύψεις, συρραφές αρμών, τα πάντα όλα. Ξεπέρασα ό,τι σκόπελο μου είχε παρουσιαστεί και τελείωσα την εργασία - τιτάνα στο πι και φι. Μετά, όταν την παρέδωσα, τσίμπησα και το 10αράκι - όχι που δεν θα το τσιμπούσα, τόσο ζόρι που τράβηξα για να την κάνω πλήρη και άρτια. Το αστείο είναι ότι ο συγγραφέας του βιβλίου, Χρ. Ιγνατάκης, είναι καθηγητής στο Α.Π.Θ.! Αλλά όόόόόόόόόόόόόόόόόόόόχι, τα υπόλοιπα μέλη του Διδακτικού Συμβουλίου δεν αξιώνονται να δώσουν στα παιδιά την δυνατότητα να επιλέξουν αυτό το βιβλίο - πρότυπο κι προτιμούν να μοιράζουν τα άλλα τα πανάρχαια που δεν έχουν καν τις σύγχρονες διατάξεις των Ευρωκωδίκων. Α ρε κνούτο που πρέπει να πέσει στις Κοσμητείες, τις Πρυτανείες και δεν συμμαζεύεται. Τα ξέρουμε, τα λέμε χρόνια, φάγαμε τα τρία πρώτα έτη μας μέσα στις καταλήψεις για θέματα σαν την εσωτερική αξιολόγηση και τις "δυναστείες" των καθηγητών, αλλά τί τα θες; Θα τελειώσω την σχολή, θα έχω γίνει 23, το ίδιο και χιλιάδες άλλοι/ες φοιτητές/τριες, θα έχουμε όλοι και όλες φωνάξει, συζητήσει, διαδηλώσει, βρίσει, γράψει, αλλά και πάλι, τίποτα δεν θα έχει αλλάξει.
Ας μην συνεχίσω περεταίρω με αυτό το θέμα γιατί σήμερα, μετά την τελευταία εξέταση, πήγα με την παρέα, ήπια τα κέρατά μου από κρασί και είμαι ακόμα θολωμένος.
Όπως μάλλον θα καταλάβατε, τελείωσε η εξεταστική μου. Λίγο σας νοιάζει βέβαια, αλλά εγώ

ΓΟΥΣΤΑΡΩ!


Ήταν η πιο δύσκολη και βαριά εξεταστική μου από τότε που μπήκα στο Πολυτεχνείο. Όμως τα αγαθά κόποις κτώνται... έτσι κι εγώ ζορίστηκα πολύ αλλά ξεμπέρδεψα σχεδόν με ό,τι μου είχε μείνει. Το αποτέλεσμα; Θα μπορέσω χαλαρός να τελειώσω την τεράστια διπλωματική μου και να πάρω το πτυχιάκι μου τον Φεβρουάριο ή το πολύ τον Ιούλιο. Ελπίζω όχι για να το βάλω σε μια προθήκη και να το βλέπω να σκονίζεται όσο θα σκοτώνομαι να τελειώνω μεταπτυχιακά, για να καταλήξω τελικά άνεργος.
Βέβαια, όλα έχουν το τίμημά τους. Έκανα λίγα, συγκριτικά με άλλες χρονιές, μπάνια, τα μάτια μου σε κάποια φάση έτσουζαν μονίμως και για πολλές μέρες μετά από δυόμιση 24ωρα μπροστά στον υπολογιστή και το AutoCAD, ο ύπνος έγινε πολυτέλεια, το blog μόλις που το παρακολουθούσα, για εξόδους, κιθάρα, σκίτσο και γενικά hobbies ας μην μιλήσουμε, έχασα από το άγχος και την πίεση του κάθε σφιχτοκώλη επιβλέποντα τρία κιλά που δεν έπρεπε να χάσω, πριν μια εβδομάδα αρρώστησα κιόλας αλλά συνέχισα να σκοτώνομαι στην δουλειά βήχοντας σαν φυματικός, κατέληξα με μόνιμο πονοκέφαλο από την αϋπνία και την αβαρεία, και όσο για σεξουαλική ζωή... αφήστε το καλύτερα. Ειδικά αφότου μπήκε το δεύτερο μισό του Σεπτεμβρίου έπεσε πλήρης ξεραΐλα, μια και δεν ξεμύτιζα καθόλου από το σπίτι. Πιστεύω πως ο μοναδικός που θα έκανε λιγότερο sex από εμένα αυτό τον καιρό θα ήταν κάποιος Τατζικιστανός νομάδας που ξέμεινε μέσα σε κινούμενη άμμο στο ανατολικό άκρο της ερήμου της Γεδρωσίας. Αλλά βασικά, εκείνος θα είχε και την καμήλα του. Γούστα είναι αυτά.


Όλη αυτή η κατάσταση άφησε ουλές και τραύματα που θέλουν τουλάχιστον ένα καλό διήμερο συνεχούς ύπνου και μετά ένα απροσδιόριστο διάστημα πλήρους και αναίσχυντης κραιπάλης για να επουλωθούν και να στρώσω λίγο μαγουλάκι.


(Υπέροχες, αλλά σαν τις Ελληνίδες δεν έχει.)

Αν μη τί άλλο, θα μπορέσουμε ΕΠΙΤΕΛΟΥΣ να αρχίσουμε ξανά να επικοινωνούμε σε κανονική και λογικά συχνή βάση. Άλλωστε έχω στα σκαριά μπόλικα, ενδιαφέροντα πιστεύω, θέματα, άσχετο αν τελικά γράψω πάλι κείμενα εκτάσεως ίδιας με το έπος του Γκιλγκαμές και που θα διαβαστούν μόνο από κάποιους/ες υπερβολικά υπομονετικούς/ες και καλοπροαίρετους/ες.
Αυτά για την ώρα. Σας χαιρετώ πουλάκια, που λέει και ο Μάλαμας. Χαιρετίσματα σε όλους και φιλιά σε όλες.

Read more...

Οι δέκα σπουδαιότερες μαθηματικές/υπολογιστικές μέθοδοι του 20ου αιώνα

>> 19/9/10

Στο επετειακό τέυχος του περιοδικού "Computing in Science & Engineering" του Ιανουαρίου/Φεβρουαρίου 2000 (που συνεκδίδεται από το Αμερικανικό Φυσικομαθηματικό Ινστιτούτο και την οργάνωση Ι.Ε.Ε.Ε. - Institute of Electrical and Electronic Engineers - ), οι J. Dongarra και F. Sullivan συνέγραψαν μια λίστα αναφορικά με τους δέκα κορυφαίους μαθηματικούς αλγορίθμους των τελευταίων εκατό ετών. Η λίστα αυτή αποτέλεσε το έναυσμα για το αναλυτικό άρθρο που εμπεριέχεται στο τελευταίο φθινοπωρινό τεύχος του περιοδικού I.A.C.M. Expressions, όπου I.A.C.M. είναι το ακρωνύμιο της Διεθνούς Ομοσπονδίας για θέματα Υπολογιστικής Μηχανικής (International Association for Computational Mechanics). Ακολουθεί μια συνοπτική περίληψη των δέκα αυτών σπουδαίων μεθόδων, που αποτέλεσαν το βασικό εργαλείο για τον υπερκερασμό ανυπέρβλητων μέχρι πρώτινως υπολογιστικών προβλημάτων, ανοίγοντας έτσι τον δρόμο για μεγάλες εφευρέσεις, ανακαλύψεις και εξελίξεις στον επιστημονικό τρόπο σκέψεις σε ένα ευρύ φάσμα επιστημών και τεχνικών ειδικοτήτων.

1) Mέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, F.E.M.)


R. Courant 


J. Argyris (Ιωάννης Χατζηαργύρης)


O. C. Zienkiewicz

Κατά πολλούς, η F.E.M. είναι ό,τι σημαντικότερο έχει συλληφθεί στον τομέα της υπολογιστικής μηχανικής. Η μέθοδος των  πεπερασμένων στοιχείων μπορεί να περιγραφεί ως μια γενική αρχή προσεγγιστικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους (η αναλυτική επίλυση των οποίων είναι από δύσκολη έως αδύνατη) και βασίζεται στην λεγόμενη μεταβολική (ή ασθενή) διατύπωση. Η μέθοδος είχε συλληφθεί εξαρχής από τον φημισμένο εφαρμοσμένο μαθηματικό R. Courant το 1943 αλλά αγνοήθηκε πλήρως (ίσως και λόγω απουσίας υπολογιστών εκείνη την εποχή), μέχρις ότου επαναδιατυπώθηκε από τους μηχανικούς το 1956. Ένας από τους συνεχιστές ήταν ο R. W. Clough, στον οποίο ανήκει και η πατρότητα του όρου "πεπερασμένα στοιχεία", ενώ ανάμεσα στις άλλες προσωπικότητες που ανέπτυξαν περεταίρω την μέθοδο ήταν ο O. C. Zienkiewicz και φυσικά ο Έλληνας, γεννηθείς στον Βόλο, J. Argyris (Ιωάννης Χατζηαργύρης), ένας από τους μέγιστους παγκοσμίως μαθηματικούς/μηχανικούς όλων των εποχών, ο οποίος ασχολήθηκε, εκτός της F.E.M., με την ανάπτυξη των πρώτων υπολογιστών, την αεροναυτική και την μηχανική των ρευστών. Συνυφασμένη και σχετική με την F.E.M.  είναι η Μέθοδος των Οριακών Στοιχείων που αναπτύχθηκε αρκετά αργότερα και συνδύασε τεχνικές επίλυσης αναπόσπαστων αναλυτικών εξισώσεων και ιδέες των πεπερασμένων στοιχείων.
Η F.E.M. χρησιμοποιείται πλέον κατά κόρον από κάθε υπολογιστικό πρόγραμμα εύρεσης εντατικής κατάστασης (όπως τα στατικά προγράμματα για τις κατασκευές) και διδάσκεται εμβριθώς στα Πολυτεχνεία της Ελλάδας και του εξωτερικού.

2) Διαδραστικοί γραμμικοί αλγεβρικοί τελεστές (interactive linear algebraic solvers)

E. Stiefel

Σχεδόν όλες οι μέθοδοι υπολογισμού που χρησιμοποιούν τις προσεγγιστικές πρακτικές της αριθμητικής ανάλυσης περιλαμβάνουν την επίλυση ενός γραμμικού αλγεβρικού συστήματος που περιλαμβάνει συνθετότερες μορφές της απλοποιημένης έκφρασης [Α]x = [Β]. Είναι όμως κατανοητό ότι οι κλασικές μέθοδοι επίλυσης (όπως η μέθοδος της απαλοιφής του Gauss καθώς και κάθε άλλη μέθοδος μορφοποίησης συστημάτων τέτοιας μορφής) είναι χρησιμοποιήσιμες κι εφικτές για συστήματα μέσου ή μικρού μεγέθους. Απεναντίας, τα συστήματα που προκύπτουν και είναι διάστασης, ας πούμε, μεγαλύτερης των 10.000, πρέπει να λυθούν διαδραστικά. Από την στιγμή λοιπόν που οι σύγχρονες υπολογιστικές απαιτήσεις οδηγούν συχνά στην ανάγκη επίλυσης συστημάτων μερικών εκατοντάδων χιλιάδων εξισώσεων κατ'ελάχιστο, οι διαδραστικοί γραμμικοί αλγεβρικοί τελεστές προβάλλουν εξαιρετικά χρήσιμοι. Αποτελεσματικοί τέτοιοι τελεστές καταφέρουν να επιταχύνουν την επίλυση εκμεταλλευόμενοι τις ειδικές ιδιότητες του μητρώου [Α], όπως την συμμετρία, την αντιστρεψιμότητα και την αραιότητά του. Διαδραστικές μέθοδοι επίλυσης  της [Α]x = [B] πρωτοεμφανίστηκαν το 1950 με την ανάπτυξη του αλγορίθμου των διαστημάτων Krylov και της μεθόδου των συζευγμένων κλίσεων των Hestenes και Stiefel για συμμετρικά μητρώα. Έκτοτε υπήρξε μεγάλη ανάπτυξη στον τομέα αυτό κι εμφανίστηκε μια σωρεία διαδραστικών μεθόδων, όπως η G.M.R.E.S. των Saad και Schultz (1986) για μη συμμετρικά μητρώα που χρησιμοποιείται έως και σήμερα ευρέως και σε πλήθος εφαρμογών.

3) Τελεστές αλγεβρικών ιδιοτιμών (algebraic eigenvalue solvers)


C. Lanczos

Το κλασικό πρόβλημα ιδιοτιμών [K]d = I...d αλλά και η γενικευμένη του μορφή [K]d = J[M]d εμφανίζονται συχνά σε αναλύσεις ταλαντώσεων ή καταστάσεων λυγισμού και συνήθως τα μητρώα [Κ] και [Μ] είναι μεγάλα και αραιά.
Μια ισχυρή μέθοδος επίλυσης των προναφερθέντων προβλημάτων αναπτύχθηκε το 1950 από τον C. Lanczos. Μια δεκαετία ργότερα, ο J. G. F. Francis ανέπτυξε τον πασίγνωστο πλέον ανάμεσα στους μαθηματικούς αλγόριθμο QR. Ο αλγόριθμος QR κυριάρχησε το '60 και το '70, διότι σε αντίθεση με την μέθοδο του Lanczos με την οποία υπολογίζονταν μόνο ορισμένες ακραίες ιδιοτιμές που ανήκαν σε ανώτερες ιδιομορφές των (δύο κυρίως) πρώτων τάξεων (που παρ'όλ'αυτά ευθύνονται κατά βάση κατά 70% έως 90% για την μορφή ενός παραμορφωμένου λόγω λυγισμού ή ταλάντωσης φορέα), ο QR βρίσκει όλες τις ιδιοτιμές ενός λογικά μικρού μητρώου με σχετική ταχύτητα.
Εν τούτοις, όταν κατά την δεκαετία του '80 διαπιστώθηκε η κύρια συμβολή στο τελικό αποτέλεσμα μόνο των αρχικών ιδιομορφών, η μέθοδος του Lanczos έκανε ένα θριαμβευτικό come - back.

4) Μέθοδοι της αποσύνθεσης των μητρώων (matric decomposition methods)


A. Householder

Πολλές αλγεβρικές μέθοδοι επίλυσης (για τελεστές γραμμικών συστημάτων αλλά και προβλήματα ιδιοτιμών) που χρησιμοποιούνται σήμερα, είναι βαθύτατα επηρεασμένες και ιδιαίτερα στηριγμένες στην αποσύνθεση (ή παραγοντοποίηση) των μητρώων, τουτέστιν στην δυνατότητα να εκφραστεί ένα μητρώο ως το προϊόν σύνθεσης απλούστερων μητρώων.
Τα απλούστερα μητρώα μπορούν να είναι διαγώνια, τριγωνικά, συμμετρικά, λοξώς συμμετρικά, ορθογώνια κ.τ.λ. Στις εφαρμογές της στην υπολογιστική μηχανική, η αποσύνθεση παρουσιάζει και φυσική σημασία. Όσων αφορά την επιστήμη του Πολιτικού Μηχανικού, αναφέρεται ενδεικτικά η φασματική αποσύνθεση (κατά την ανάλυση της δυναμικής επιπόνησης μιας κατασκευής από την σεισμική επιτάχυνση του εδάφους, η οποία χρησιμοποιεί αποσυντεθιμένα/παραγοντοποιημένα σεισμικά φάσματα σχεδιασμού που δείχνουν την πορεία εξέλιξης ιδιοπεριόδων ανάλογα με τον χρόνο) και η πολική αποσύνθεση (ταχεία μεταλλαγή από καρτεσιανό σε πολικό σύστημα συντεταγμένων προκειμένου να οριστεί η στροφική αδράνεια π.χ. μιας πολυκατοικίας, αφού έχει πρώτα βρεθεί ότι το κέντρο ελαστικής στροφής της εμφανίζεται σε ευνοϊκό για την κάτοψη σημείο).
Ο πρώτος που έδωσε ώθηση σε αυτό το πεδίο ήταν ο A. Householder ο οποίος, σε μια σειρά συγγραμμάτων που δημοσίευσε από το 1951 και μετά, εξήγησε την χρησιμότητα της παραγοντοποίησης των μητρώων και ανέπτυξε σχετικούς αλγορίθμους.

5) Μέθοδοι πεπερασμένης διαφοροποίησης για προβλήματα κυμάτων (finite difference methods for wave problems)


S. K. Godunov

Στις απαρχές της υπολογιστικής μηχανικής, προβλήματα συστημάτων κοινών διαφοροποιημένων εξισώσεων προερχομένων από (υπερβολικά κυρίως) κύματα, λύνονταν κυρίως με τον αλγόριθμο της χρονικής (αριθμητικής) ολοκλήρωσης του Euler. Εν τούτοις, στα μέσα του '50, έγινε κοινός τόπος στους εφαρμοσμένους μαθηματικούς και τους φυσικούς να βρουν ειδικές μεθόδους επίλυσης αποκλειστικά για προβλήματα κυμάτων. Δύο πρώιμες μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης που χρησιμοποιούνται συχνά ακόμα και στις μέρες μας είναι εκείνη του Newmark (1959) αναφορικά με την δυναμική των κατασκευών κι εκείνη των Lex και Wendroff (1960) για την επίλυση υπερβολικών συστημάτων 1ης τάξης. Αργότερα ακολούθησαν και άλλες πολλές μέθοδοι βελτιωμένες ανά σημεία, όπως αυτή των Hilber, Hughes και Taylor (1978), με μια πιο "σφιχτή" αριθμητική διάχυση των τιμών.
Ένα σημαντικό θέμα που εμφανίζεται στην υπολογιστική επίλυση των υπερβολικών, παραβολικών και υπερβολικών παραβολοειδών προβλημάτων κυμάτων είναι αυτό του ορισμού και της σύλληψης της ασυνέχειας, ιδίως των κρουστικών κυμάτων. Οι κλασικές μέθοδοι πεπερασμένης διαφοροποίησης δεν μπορούσαν να επιλύσουν ικανοποιητικά τις ασυνέχειες. Ο S. K. Godunov ήταν ο πρώτος που αναγνώρισε κι εξέτασε το πρόβλημα και το 1959 πρότεινε, για προβλήματα της μηχανικής των ρευστών, τον πλέον γνωστό αλγόριθμο του Godunov. Αυτό άνοιξε τον δρόμο για διάφορους αλγορίθμους επίλυσης προβλημάτων στροβιλισμού και διάσπασης της ροής, προτεινόμενους από τους van Leer (1974, 1982), Steger και Warming (1979), Roe (1980) και άλλους. Σχετικά στοιχεία παρουσιάζονται ακόμα και στην F.E.M.

6) Μη γραμμικοί αλγεβρικοί τελεστές (nonlinear algebraic solvers)


Από τα αριστερά: G. G. Broyden, P. Fletcher, D. Goldfarb και D. F. Shanno

Τα περισσότερα προβλήματα της υπολογιστικής μηχανικής είναι μη γραμμικά. Η διακριτοποίηση χώρου και χρόνου οδηγεί συνήθως σε μη γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων. Όταν άρχισαν με τον καιρό να παρουσιάζονται προβλήματα μεγάλης κλίμακας, έγινε αντιληπτό ότι οι συνηθισμένοι μη γραμμικοί τελεστές, όπως της διχοτόμησης, της διατέμνουσας ή ακόμα και του Newton δεν ήταν πλέον επαρκείς.
Μια σημαντική οικογένεια βελτιωμένων τελεστών είναι η λεγομένη ομάδα Quasi Newton (Q.N.). Η πρώτη μέθοδος Q.N. γνωστοποιήθηκε από τον Davidon το 1959 και μετέπειτα βελτιώθηκε περεταίρω κι εκδόθηκε από τους Fletcher και Powell. Μια άλλη μέθοδος Q.N. η οποία έγινε αργότερα (και παρέμεινε στις μέρες μας) ιδιαίτερα γνωστή, είναι η λεγόμενη B.F.G.S. η οποία πρωτοαναπτύχθηκε το 1970 από τους Broyden, Fletcher, Goldfarb και Shanno.
Μια τελείως διαφορετική προσέγγιση των μη γραμμικών προβλημάτων με μη γραμμικότητα μη μονότονης φύσης προσφέρεται από τις μεθόδους μήκους του τόξου (που καλούνται από τους μαθηματικούς μέθοδοι συνέχειας). Οι πρώτοι τέτοιοι αλγόριθμοι προτάθηκαν από τους G. A. Wempner (1971) και E. Riks (1972).

7) Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier (Fast Fourier Transform, F.F.T.)


J. W. Tukey


J. Cooley

Οι φασματικές μέθοδοι της υπολογιστικής μηχανικής συχνά στηρίζονται στον διακριτό μετασχηματισμό Fourier. Το σημαντικότερο βήμα εδώ είναι ο υπολογισμός των πρώτων Ν συντελεστών του Fourier μιας συνάρτησης, όταν οι πρώτες Ν τιμές της δίνονται.
Ένας απευθείας υπολογισμός των συντελεστών του Fourier απαιτεί τις λεγόμενες O(N^2) διαδικασίες του κυμαινόμενου σημείου. Ο F.F.T. είναι ένας αλγόριθμος για την περαίωση αυτού του υπολογισμού χρησιμοποιώντας μόνο διαδικασίες του τύπου O(N*logN).
Η μέθοδος F.F.T. αναπτύχθηκε το 1965 από τους J. Cooley της Ι.Β.Μ.  και J. W. Tukey του Πανεπιστημίου του Princeton. Η μέθοδος είχε, μεταξύ άλλων, μεγάλο αντίκτυπο στην επεξεργασία των σημάτων.

8) Μη γραμμικός προγραμματισμός (nonlinear programming)


G. Dantzig

Η μέθοδος Simplex είναι ένας πολύ γνωστός κι εύχρηστος αλγόριθμος για γραμμικό προγραμματισμό, δημιουργημένη από τον  G. Dantzig, κυρίως για προβλήματα βελτιστοποίησης με αντικειμενικώς γραμμικές συναρτήσεις και περιορισμούς στην γραμμική ανισότητα των ενδιάμεσων βημάτων επίλυσης. Παρ'όλ'αυτά, τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης στην υπολογιστική μηχανική σχετίζονται με αντικειμενικώς μη γραμμικές συναρτήσεις.
Σε διακριτό επίπεδο, τα απλούστερα προβλήματα αυτού του τύπου είναι εκείνα του τετραγωνικού προγραμματισμού (quadratic programming, Q.P.), με αντικειμενικώς τετραγωνικές συναρτήσεις και γραμμικούς περιορισμούς. Τέτοιου είδους προβλήματα εμφανίζονται συχνά σε διάφορους τομείς της υπολογιστικής μηχανικής, κι εν προκειμένω όσων αφορά τους Πολιτικούς Μηχανικούς, στην θεωρία της ελαστοπλαστικότητας. Η σημαντικότητα αυτής της κλάσης των θεμάτων συνίσταται και στο ότι η επίλυση πιο περίπλοκων προβλημάτων μπορεί να προσεγγιστεί θεωρώντας μια σειρά από απλούστερα προβλήματα Q.P.
 Πρώιμη δουλειά στον μη γραμμικό προγραμματισμό έγινε από τους Goldfarb (1969), Murtagh και Sargent (1969), McCormick (1970), Fletcher (1971) και Murray (1971). Μέθοδοι βελτιστοποίησης μεγάλης κλίμακας αναπτύχθηκαν από τους Griffith και Stewart (1961) και Murtagh και Saunders (1978).

9) "Ελαφρές" υπολογιστικές μέθοδοι ("soft" computing methods)


Ο... Βούδας (μην τρελαίνεστε, διαβάστε παρακάτω και θα καταλάβετε)

Παραδοσιακά, η υπολογιστική μηχανική βασίστηκε σε αυστηρές μαθηματικές νόρμες που περιλαμβάνουν, μεταξύ άλλων, την θεωρητική μηχανική, την αριθμητική ανάλυση, την συναρτησιακή ανάλυση κ.τ.λ. Εν τούτοις, από τις αρχές του '80 άρχισαν να εφαρμόζονται νέου τύπου υπολογιστικές διαδικασίες, οι οποίες έχει επικρατήσει να αναφέρονται ως "ελαφρές" υπολογιστικές μέθοδοι. Τέτοιου είδους διαδικασίες βασίζονται σε μια πιο "ευρετική" αντιμετώπιση του προβλήματος παρά σε αυστηρά μαθηματικά κι εφαρμόζονται σε τομείς όπως η τεχνητή νοημοσύνη. Παρά την χλυαρή έως καχύποπτη αρχική αντιμετώπιση των μεθόδων αυτών, η εκπληκτική δυναμική τους σε ορισμένους τομείς τις έχουν προσδώσει ιδιαίτερη αξία σε αρκετά πεδία της υπολογιστικής μηχανικής. Τρεις κύριες τεχνικές είναι τα Νευρωνικά Δίκτυα, οι Γενετικοί Αλγόριθμοι και η λεγόμενη Ασαφής Λογική. Και οι τρεις μπορούν να θεωρηθούν ως τεχνικές βελτιστοποίησης, αλλά στηρίζονται σε εντελώς διαφορετικές μεθοδολογίες.
Στοιχεία "ελαφρής" υπολογιστικής λογικής είχαν εμφανιστεί ήδη από το '40. Πιονέροι σε αυτό το πεδίο θεωρούνται οι McCulloch και Pitts στα Νευρωνικά Δίκτυα, ο Holland στους Γενετικούς Αλγορίθμους και ο Zadeh στην Ασαφή Λογική - αν και αρκετοί μαθηματικοί υποστηρίζουν ότι η Ασαφής Λογική εφευρέθηκε από τον Βούδα! Στις δεκαετίες του '60 και του '70 το όλο αυτό πεδίο μελετήθηκε εμβριθώς από τους επιστήμονες των υπολογιστών, αλλά μόνο στις αρχές του '80 άρχισε η συστηματική χρησιμοποίηση των εν λόγω μεθόδων.

10) Μέθοδοι πολλαπλής κλίμακας (multiscale methods)


A. Brandt

Πολλά προβλήματα της υπολογιστικής μηχανικής περιλαμβάνουν περισσότερες από μία κλίμακες τιμών. Επιπροσθέτως, σε αρκετές περιπτώσεις οι διαφορετικές κλίμακες αλληλεπιδρούν με έναν ιδιαίτερα περίπλοκο και μπερδεμένο τρόπο. Αυτό μπορεί να συμβεί σε δύο επίπεδα: το φυσικό επίπεδο, όταν το υπό μελέτη φαινόμενο περιλαμβάνει ταυτόχρονα μικροκλίμακα και μακροκλίμακα (για παράδειγμα, στην αερακουστική και την θραυστομηχανική) και το αριθμητικό επίπεδο, όπου η φτωχή σε ακρίβεια ανάλυση της μίας κλίμακας μπορεί να αλλοιώσει την ακρίβεια της άλλης (νόμος μετάδοσης του σφάλματος σε κλίμακες). Οι μέθοδοι που αντιμετωπίζουν τέτοιου είδους προβλήματα είναι γνωστές ως μέθοδοι πολλαπλής κλίμακας.
Διάσημη τέτοια μέθοδος είναι η τεχνική του πολλαπλού πλέγματος, που πρωτοεφευρέθηκε το 1977 από τον A. Brandt και η οποία μπορεί να εννοηθεί ως μια επαναληπτική μέθοδος αλγεβρικής επίλυσης που απαιτεί μόνο διαδικασίες του τύπου Ο(Ν). Μια άλλη προσέγγιση είναι αυτή των κυματίων η οποία, σαν τα απλά ημίτονα και συνημίτονα, συνίσταται στο "χτίσιμο" ενός αριθμού blocks από γενικές συναρτήσεις που όμως είναι τοπικές κι έχουν ειδικές ιδιότητες μετάφρασης και διαστολής (για την εύρεση των ακροτάτων τους) που τους επιτρέπουν να επιλύουν διαφορετικές κλίμακες. Η μέθοδος των κυματίων εμφανίστηκε για πρώτη φορά στην διατριβή του A. Haar to 1909, αλλά μορφοποιήθηκε στην γνωστή σήμερα μορφή της από το 1985 και μετά από τους S. Mallat, Y. Meyer και I. Daubechies. Η έρευνα στο πεδίο αυτό είναι ακόμα δυναμική.
Νεότερες μέθοδοι πολλαπλής κλίμακας που συνδυάζονται και με την F.E.M. αλλά είναι ακόμα σε ερευνητικό στάδιο περιλαμβάνουν την μέθοδο της μεταβολικής πολλαπλής κλίμακας του T. J. R. Hughes, την μέθοδο του διαχωρισμού της ενότητας των J. M. Melenk και I. Babuoka και την προσέγγιση της ιεραρχικής μοντελοποίησης της ομάδας του J. T. Oden.

Read more...

Ο truthος, τα μπουμπούκια και μια παρ'ολίγο χαλάστρα

>> 8/9/10


Κατ'αρχάς, για να καταλαβαινόμαστε:

- Truthος, ο (ουσ.): Από την αγγλική λέξη truth που σημαίνει αλήθεια. Προφέρεται "τρούθος" (του τρούθου, τον τρούθο, ω τρούθε, με βαριά ελληναράδικη προφορά πάντα). Τrutho λέμε τον παπατζή, τον πίπα, τον φουμαρόπουλο, τον σπασοκλαμπάνια, τον φύκια, τον σαρανταλήθεια (sic), τον ψευταρά τέλος πάντων.
- Ο τίτλος γράφτηκε ακριβώς για να θυμίζει χλιαρή βρετανική κομεντί, όπου το μόνο γέλιο που βγάζεις είναι με τα κεκεδίσματα του Hugh Grant και τα "κοκοράκια" που κάνει όταν μιλάει η Andy McDowell.

Αυτή είναι η προτελευταία μου εξεταστική (αν όλα πάνε καλά βέβαια) και όπως είναι λογικό είμαι ιδιαίτερα πιεσμένος. Φαίνεται άλλωστε και από την πεσμένη συχνότητα των αναρτήσεών μου αυτόν τον καιρό. Οι έξοδοί μου είναι κι αυτές πολύ περιορισμένες λόγω έλλειψης χρόνου, αλλά τουλάχιστον προσπαθώ όταν βγαίνω, να το αξίζει!
Έτσι και τις προάλλες κανόνισα με ένα φιλαράκι και βγήκαμε με δύο κοπελίτσες σκέτο μέλι, που τις είχαμε γνωρίσει μέσω κοινής γνωστής. Για να αλλάξουμε λίγο το ρεπερτόριο, πήγαμε μαζί τους προς τα δυτικά της Θεσσαλονίκης, όπου υπάρχουν ορισμένα δυσεύρετα αλλά top μέρη - που αν κάνεις τον κόπο να ψάξεις και να τα βρεις σε ανταμοίβουν και με το παραπάνω.
Με τα πολλά παρκάραμε και τις συναντήσαμε σε μια πλατεία, αφού πάρκαραν και αυτές το δικό τους αμαξάκι. Πήγαμε στο afterάδικο που είχαμε σταμπάρει, καθήσαμε, όλα όμορφα και καλά μέχρι τότε... ήμασταν και οι τέσσερις σε πολύ ωραίο και χαλαρό κλίμα, η ατμόσφαιρα ζεστή, οι διαθέσεις ακόμα πιο ζεστές, σιγά σιγά χωριστήκαμε σε δυάδες και... τα λοιπά.
Κι εκεί που περνούσαμε γαμάτα, να σου ο truthος που λέγαμε. Ο οποίος truthoς ήταν γνωστός των κοριτσιών κι έτυχε να βρίσκεται στο ίδιο μαγαζί σε παραδιπλανή παρέα. Μας βλέπει λοιπόν ο τύπος και το θεώρησε δέον και καλή ιδέα να έρθει και να μας μπαστακωθεί εκεί, κόβοντάς μας από τις... ονειροπολήσεις μας. Εγώ έχω ένα ζήτημα με αυτό, γενικά όταν με κόβουν έτσι γίνομαι λίγο δύστροπος και λίγο "φύγε-από-την-αγέλη-μου", αλλά το φιλοσόφησα λίγο, είπα ένα τέλος πάντων, δεν πειράζει... σε τελική ανάλυση, δεν τον ήξερα τον άνθρωπο κι επιπλέον φαντάστηκα ότι είδε τί γινόταν και δεν θα έκανε αρμένικη βίζιτα.
Έλα όμως που δεν είχε διάθεση να φύγει... κι έλα που απ'ό,τι κατάλαβα έδειχνε μια ιδιαίτερη προτίμηση στην κοπέλα που ήταν με εμένα και δεν του άρεσε ΚΑΘΟΛΟΥ ΜΑ ΚΑΘΟΛΟΥ που συνέβαινε ό,τι συνέβαινε μαζί μου! Να τα μας, σκέφτηκα. Τώρα θα μας κάτσει στον σβέρκο. Και πράγματι, το έκανε.
Ο εν λόγω τύπος ήταν ένας 30άρης μπάκουρος, και αυτό από μόνο του ήταν fail, γιατί τί κάνεις μωρέ ολόκληρος μαντράχαλος με τα 20άρικα μπουμπούκια που ήταν μαζί μας; Όσο καιρό και να τις πιλάτευες στις κοινές σας παρέες πριν τις γνωρίσουμε εμείς, ό,τι πρόλογο και να τις έριχνες, αλήθεια, τί ελπίδες είχες; Οι 20άρες στους 20άρηδες (και κάτι ψιλά) αγαπητέ. Είναι πιο φυσιολογικό. Θα μου πείτε, οι γυναίκες έχουν γούστα και γούστα, αλλά και πάλι... Το αντιπαρέρχομαι αυτό και συνεχίζω. Το πραγματικό πρόβλημά μου όμως δεν ήταν αυτό, ούτε η ηλικία του, ούτε το μπακουριλίκι του. Μην σας πω ότι μετά την πρώτη εντύπωση ήρθε η δεύτερη και τον ψιλοσυμπάθησα κιόλας. Μετά όμως ήρθε η τρίτη... κι εκεί γάμησέ τα.
Προσπαθώντας μάλλον να επιβληθεί και να το παίξει κάποιος, άρχισε έναν οχετό από truthιές. Ψέματα όμως, όχι αστεία! Έτσι όπως το πήγαινε, θα μας έλεγε σε λίγο ότι στα 30 χρόνια της ζωής του έχει κάνει πιο πολλά από τον Hugh Hefner, τον Bono και τον Ωνάση (τον πρεσβύτερο) μαζί! Συγκεκριμένα, πρόλαβε να μου πει (εμένα, γιατί η καημένη η κοπελίτσα θα πρέπει να τα είχε ξανακούσει μύριες φορές):

- Ότι είχε δικά του μπουζουξίδικα και απλά έπεσε έξω λόγω κρίσης.
- Ότι είχε δουλέψει σαν μουσικός κοντά σε μεγάλα ονόματα του ελληνικού πενταγράμμου, όπως ο Αντωνιάδης (;).
- Ότι είναι κολλητός του Αγγελάκα και μάλιστα του είχαν κάνει αυτός και ο Βελιώτης πρόταση να δουλέψει μαζί τους ως μουσικός, αλλά δεν δέχτηκε (γιατί άραγε;!).
- Ότι παίζει κιθάρα, μπουζούκι, πλήκτρα, πιάνο, κλαρίνο, σαξόφωνο, ταμπουρά, σαντούρι, ούτι, λαούτο ΚΑΙ drums.
- Ότι είχε δικιά του δισκογραφική και ότι έπεσε και με εκείνη έξω λόγω της κρίσης (από πότε βαστάει αυτή η κωλοκρίση ρε γαμώτο; Από το '80;).
- Ότι είχε συνεργείο ανακαινίσεων (!).
- Ότι είχε εταιρεία με βαφές (!!).
- Ότι είχε εταιρεία που περνούσαν κουφώματα, τζάμια κ.λ.π. (!!!)
- Ότι έτρεχε σε drag επιδείξεις με το κωλοφτιαγμένο Clio του (τι είσαι ρε; Κανά 16χρονο που μόλις έμαθε τί έχει μέσα στο παντελόνι του και διαβάζει καγκουροπεριοδικά α λα Max Power;).
- Ότι γνωρίζει τους διοικούντες του Π.Α.Ο.Κ.
- Ότι γνωρίζει τους σεκιουριτάδες που δουλεύουν στα ματς στην Τούμπα κι έχει κονέ για να βάζει όσα άτομα γουστάρει στο γήπεδο (τί μαλακίες, ΘΕΕ ΜΟΥ).
- Ότι γνωρίζει κι έπινε καφεδάκια με τον Ξαρχάκο (για την πληροφόρηση των μη Θεσσαλονικέων, η οικογένεια Ξαρχάκου στην Θεσσαλονίκη ήταν η ιδιοκτήτρια των πιο in στεκιών του '70 και του '80 που σύχναζαν οι γονείς μας κι εδώ και χρόνια έχει αναλάβει το catering όλων των συναυλιών που λαμβάνουν χώρα στα Θέατρα Δάσους και Γης και στην μονή Λαζαριστών, δηλαδή από James και Ian Anderson μέχρι Αλκίνοο Ιωαννίδη και Σωκράτη Μάλαμα).
- Ότι είναι ανιψιός του τάδε (δεν θυμάμαι ποιανού, αλλά ήταν βαρύγδουπο όνομα).
- Ότι... ΓΑΜΗΣΕ ΤΑ! ΚΑΙ ΠΟΛΛΑ ΑΚΟΜΑ!


ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΔΥΝΑΤΟΝ ΡΕ ΜΑΛΑΚΑ!

Τόση ψευτιά δεν έχω ξανασυναντήσει στην ζωή μου! Ρε άνθρωπε, άμα θες να πεις ένα ψέμα, πες το, δεν χάθηκε ο κόσμος. Όλοι λέμε τα ψέματά μας. Αλλά βάλε λίγο κράτει! Εσύ το πέθανες! Η πλάκα είναι ότι αυτά που ξεφούρνιζε, τα ξεφούρνιζε προκειμένου να καλύψει κάτι που έλεγα εγώ, λες και είχα καμιά διάθεση να ανταγωνιστώ μαζί του, ενώ δεν υπήρχε καν ανταγωνισμός! Τουτέστιν, είχε πιάσει φωτιά ο κώλος του και με ρώτησε σε κάποια φάση "ασχολείσαι με την μουσική;", κι εγώ (καλός μαλάκας και του λόγου μου που του έδωσα πάτημα) του απάντησα "ε ναι, παίζω κιθάρα σε κάτι συγκρ..." "Ααααααα! Αλήθεια; Λοιπόν, εγώ..." και μπλα, μπλα, μπλα, μου αράδιασε ό,τι σας έγραψα πιο πάνω και άλλα τόσα. Κατά τον ίδιο τρόπο πουλούσε φούμαρα για ό,τι θέμα πιάναμε.
Η τωρινή του δουλειά παρέμεινε ένα μυστήριο, γιατί σιγά μην τον ρωτούσα κιόλας εφόσον δεν μου είχε πει από μόνος του. Τρελός είμαι, να με πιάσει πάλι στην πάρλα και τις ψευτιές;
Ο τύπος είχε αρχίσει να εξελίσσεται σε τρελό χαλαστρωτήρα. Και το γαμώτο της όλης φάσης ήταν ο λόγος για την οποία γινόταν: ο μπάκουρος αμολούσε τις μπαρούφες του αφενός για να με πρήξει και αφετέρου για να μας κάνει χαλάστρα, να δειχτεί καλύτερος και να κάνει εντύπωση στην δύστυχη κοπελίτσα που τον είχε ήδη βαρεθεί φριχτά και προφανώς δεν πίστευε λέξη από τις σαχλαμάρες που έτσι κι αλλιώς είχε ξανακούσει. Πού πας ρε χωριό; Τί ακριβώς θες να αποδείξεις; Ποιόν πας να ανταγωνιστής; Βλάκα. Άμα θες να κάνεις κάτι, καν'το σωστά. Πες ένα τσιτάτο, μια εξυπνάδα, και θα κάνω μόκο. Αλλά με τις truthιές σου, πας να μας πείσεις ότι είσαι κάποιος; Δεν το καταλαβαίνεις ότι έτσι βγαίνεις διπλά μαλάκας ο ίδιος; Και σε τελική ανάλυση, ΓΙΑΤΙ να μας πείσεις ότι είσαι κάποιος; Δηλαδή εγώ που δεν είμαι κάποιος και είμαι ένας απλός φοιτητάκος με τα hobbies μου και την επιστήμη μου, έχω να ζηλέψω τίποτα από κανένα; Όχι φίλε μου, δεν έχω, γιατί εμένα αυτά που κάνω ΜΕ ΓΕΜΙΖΟΥΝ. Τα κάνω γιατί γουστάρω και όχι για να πουλήσω μούρη. Με συμπαθείς; Κάτσε μαζί μου, κάνε μου παρέα, πέρνα καλά. Δεν με συμπαθείς; Χέστηκα κι εγώ, χέστηκες κι εσύ, χεστήκαμε και οι δύο, κάν'την όπως είσαι και απαλλάξου από την παρουσία μου. Σε όποιον αρέσουμε. Εγώ δεν λέω τραγελαφικά ψέματα σε ανθρώπους που μόλις έχω γνωρίσει για να προσπαθήσω (ανεπιτυχώς) να τους φάω την γκόμενα και για να κρύψω το πόσο μεγάλο, στην πραγματικότητα, μηδενικό είμαι.
Μην με παρεξηγήσετε, δεν έχω κάτι εναντίον των ψευτών... όσο δεν ασχολούνται μαζί μου. Δυστυχισμένοι ήταν, δυστυχισμένοι θα παραμείνουν. Αλλά όταν μου τα ζαλίζουν και λένε παπαριές που πραγματικά ΠΡΟΣΒΑΛΛΟΥΝ ΤΗΝ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΜΟΥ ΚΑΙ ΤΗΝ ΠΡΟΣΒΑΛΛΟΥΝ ΑΚΟΜΑ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟ ΟΤΑΝ ΑΠΑΙΤΟΥΝ ΑΠΟ ΕΜΕΝΑ ΝΑ ΤΙΣ ΧΑΨΩ, ε, τότε είναι αλλιώς. Άει στο διάολο!


Χώρια που ο συγκεκριμένος χρησιμοποιούσε ψευτοεπιχειρήματα (μην χέσω) για να εντυπωσιάσει τα οποία εμένα με αφήνουν παγερά αδιάφορο. Αν θες φιλαράκι να με κάνεις να νιώσω δέος, πες ότι έχεις πετύχει τίποτα  σοβαρό, στην δουλειά σου, στις τέχνες, κάτι περίεργο, εξαιρετικό, έξω από τα συνηθισμένα, ο,τιδήποτε και οπουδήποτε. Κατορθώματα, και μάλιστα ψεύτικα, του τύπου "μπουζούκια", "ξέρω τον τάδε", "έχω κωλοφτιαγμένο αμάξι" και τα συναφή με αφήνουν παγερά αδιάφορο και τα γράφω εκεί που δεν πιάνει ο Ήλιος. Δεν είναι ούτε του επιπέδου μου, ούτε του γούστου μου. Ούτε όταν ήμουν 15 χρονών σπυριάρης καγκουρομπάκουρος δεν ασχολιόμουν με αυτές τις μαλακίες.
Του έριξα ένα μικροκράξιμο κι επιτόπου αλλά δεν έδωσα ιδιαίτερη συνέχεια στο θέμα. Ο φίλος μου και η δικιά του είχαν δακρύσει στην προσπάθεια να συγκρατήσουν τα γέλια τους (δεν ντραπήκατε ρε, ρεμάλια! Αντί να μας βοηθήσετε!), ενώ το δικό μου μπουμπούκι με κοιτούσε ικετευτικά για να σηκωθούμε και να φύγουμε. Με τα πολλά, είπα εγώ και το φιλαράκι μου μια μαλακία  ως δικαιολογία και την κάναμε μαζί με τα κορίτσια άρον άρον, βγάζοντάς τις και από την δύσκολη θέση. Μην με ρωτάτε γιατί φύγαμε εμείς και όχι αυτός, όπως θα όφειλε. Αυτός δεν έφευγε ακόμα και αν τον τραβούσε ανατρεπόμενος οικοδομικός γερανός. Πάλι καλά που μάλλον κάτι έπιασε στο τέλος το κολλημένο μυαλουδάκι του και είχε την ελάχιστη φρόνηση να γυρίσει στην παρέα του και να μην αποφασίσει να μας ακολουθήσει σαν κωλοσούσουρο. Όχι τίποτα άλλο, αλλά θα είχαμε άλλα σκηνικά μετά.
Αργότερα μάθαμε πως το εν λόγω παλικάρι κυνηγούσε μία την μία από τις δύο φίλες, μία την άλλη. Και όχι τίποτα άλλο, τα κορίτσα του έριχναν συνεχώς άκυρο (και καλά έκαναν) αλλά αυτός δεν ένιωθε! Τι μπελαλής, γαμώ το φελέκι μου.


Αν μη τι άλλο, μετά την άτακτη φυγή μας επισκεφτήκαμε με την ησυχία μας ένα άλλο μαγαζάκι, jazz bar φάση, και η υπόλοιπη βραδιά μας μέχρι τις πρώτες πρωινές ώρες ήταν ζάχαρη. Πάλι καλά.
Το νόημα αυτού του κειμένου; Δεν ξέρω. Απλά μου είχαν σπάσει τα νεύρα και ήθελα να περιγράψω αυτήν την παρ'ολίγο χαλάστρα. Προς γνώση, συμμόρφωση και συμβουλή. Αν τύχει και βρεθεί στον διάβα σας truthος τέτοιου επιπέδου και σκοπού, μακριά, αλλιώς θα χάσετε τζάμπα χρόνο από την ζωή σας.

Υ.Γ. Αν εσύ, truthε φίλε μου, τύχει να διαβάσεις κάποτε αυτό το κείμενο και προσβληθείς, ειλικρινά δεν μου καίγεται καρφί. Όπως θα πρόσεξες, δεν ανέφερα ούτε ονόματα, ούτε την ακριβή τοποθεσία του σκηνικού, για να μην σε κάνω τελείως ρόμπα. Για αυτό κάτσε σαν καλός μετανιωμένος ψεύτης και δες το post πιο πολύ σαν συμβουλή για την κατανόηση από μέρους σου κάποιων βασικών πτυχών της ανθρώπινης επικοινωνίας, που ενώ έχεις μπει στα - άντα σου δεν έχεις χαμπαριάσει, ούτε καταλάβει. Η μυθομανία που σε διακατέχει είναι ανύπαρκτου επιπέδου. Και καλά, αυτήν την φορά φλόμωσες εμένα, που σε τελική ανάλυση σε έγραψα και δεν σου έδωσα παραπάνω σημασία. Πρόσεξε όμως μην καμιά φορά τύχεις σε κάποιον ευερέθιστο ντουλάπα και του πεις, μέσα στις παρλαπίπες σου, κάποιο ψέμα που ενδεχομένως αφορά τον ίδιο ή κάποιον γνωστό του, κι εκείνος τα πάρει και σε κάνει τόπι στο ξύλο.

Read more...

Η ΦΑΣΗ ΓΗΣ - ΣΕΛΗΝΗΣ. ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΝΥΧΤΕΡΙΝΟΥΣ (ΚΑΙ ΟΧΙ ΜΟΝΟ) ΤΥΠΟΥΣ...

Παρουσιάστηκε σφάλμα σε αυτό το gadget

ΠΝΕΥΜΑΤΩΔΗ ΑΠΟΦΘΕΓΜΑΤΑ ΚΑΙ ΡΗΣΕΙΣ

ΠΟΣΟΙ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΤΕΛΙΚΑ ΕΔΩ ΜΕΣΑ;

  © Blogger templates Romantico by Ourblogtemplates.com 2008

Back to TOP